Lista 2

1 Considere a situação de crescimento de 1.000 indivíduos em um vilarejo de 500 habitantes e o crescimento de 1.000 indivíduos em uma metrópole de 10 milhões de habitantes. Esse crescimento ocorreu num período de cinco anos (de 2000 para 2005).  

R.: 1.000 indivíduos nos dois locais, ou seja, a quantidade de pessoas a mais em cada local. 

b) Qual foi o crescimento populacional relativo no vilarejo e na metrópole? 

R.: No vilarejo: G = ((P_2005 / P_2000) - 1) * 100 = ((1500 / 500) - 1) * 100 = 200%.

Na metrópole: G = ((P_2005 / P_2000) - 1) * 100 = ((10000000 / 10001000) - 1) * 100 = 0,01%. 

c) Qual foi o crescimento instantâneo (método exponencial) nos dois locais? 

R.: Vilarejo: r_inst = ln((P_2005 / P_2000))/(5) * 100 = ln((1500 / 500))/(5) * 100 = 21,97%.

Metróple: r_inst = ln((P_2005 / P_2000))/(5) * 100 = ln((10000000 / 10001000))/(5) * 100 = 0,002%. 

d) Em que ano as populações de 2005 duplicariam nos dois locais? Considere as taxas de crescimento constantes. 

Vilarejo: n = ln(2) / r_inst = ln(2) / 0,21972 = 3,15 anos. Então, 2005 + 3 anos = 2008 no vilarejo.

Metrópole: n = ln(2) / r_inst = ln(2) / 0,00002 = 34.659,09187 anos. Então, 2005 + 34.659 anos = 36664 na metrópole. 

2 Considere os dados de população para o Brasil em 2010 e 2022:

• Houve um acréscimo de 12,3 milhões de pessoas no período. 

• A taxa de crescimento anual da população foi de 0,52% (método geométrico).

a) Quanto tempo seria necessário para a população brasileira de 2022 dobrar de tamanho, considerando a taxa de crescimento constante? 

R.: log(2) /log(1 + r_anual) = log(2) / log(1+0,0052) = 133,14 anos. 

b) Em que ano isso iria acontecer? 

R.: 2022 + 133 = 2155. 

c)  Considere o cálculo da população final (P_(t+n)) a partir da população inicial (P_t) e da taxa anual (r): 

Comparando com a população de 2022, qual seria a população do Brasil em 2032? 

R.: P_2032 = P_2022 * (1 + 0,000052)^10 = 214 mi. 

3 Esses são alguns municípios com as maiores populações do Brasil: 

a)  Qual dos municípios apresentados duplicará (ou reduzirá pela metade) em menos tempo? 

São Gonçalo - RJ.

Manaus - AM.

Curitiba - PR.

João Pessoa - PB.

Fortaleza - CE.

R.: O que cresceu mais durante o período, ou seja, João Pessoa. É o município que, se mantiver o crescimento constante, irá aumentar sua população em menos tempo. 

b) Qual foi a taxa de crescimento anual (método geométrico) de Belo Horizonte?

-0,021.

0,021.

-0,0021%.

0,0021%.

-0,2115%.

R.: r_an = ((P_2022/P_2010) ** (1 / 12) - 1) * 100 = -0,2115% ou -0,002115. 

c) Qual foi a taxa de crescimento instantânea (método exponencial) de Belo Horizonte?

-0,02.

0,02.

-0,002%.

0,002%.

-0,2%.

R.: r_inst = (ln(P_2022/P_2010) / 12) * 100 = -0,2117% ou -0,002117. 

d) Utilize a fórmula para encontrar o tempo para duplicação da população de Belo Horizonte. Como você interpreta o resultado obtido?

-327,35 anos. Ou seja, em 327 anos, a população de Belo Horizonte dobrará, em 2349, chegando a 4.631.120 habitantes.

-27,28 anos. Ou seja, em 27 anos, a população de Belo Horizonte reduzirá pela metade, em 2049, chegando a 1.157.780 habitantes.

-1,42 anos. Ou seja, em um ano, a população de Belo Horizonte reduzirá pela metade, em 2026, chegando a 1.157.780 habitantes.

-27,28 anos. Ou seja, em 27 anos, a população de Belo Horizonte dobrará, em 2049, chegando a 4.631.120 habitantes.

-327,35 anos. Ou seja, em 327 anos, a população de Belo Horizonte reduzirá pela metade, em 2349, chegando a 1.157.780 habitantes. 

R.: Usando o método geométrico - tempo para duplicar: log(2) / log(1 + r_anual) = log(2) / log(1 + -0,002115) = -327,35 anos.

Usando o método exponencial - tempo para duplicar: ln(2) / (r_inst / 100) = ln(2) / (-0,002117 / 100) = = -327,35 anos.

Ou seja, em 327 anos, a população de Belo Horizonte reduzirá pela metade, em 2349, chegando a 1.157.780 habitantes.